2019年春八年級數學下冊第19章矩形菱形與正方形19.3

2020-01-07發布者:蔡愛秀大?。?91 KB 下載:0

19.3 正方形 1.菱形、矩形、正方形都具有的性質是( C ) (A)對角線相等 (B)對角線互相垂直 (C)對角線互相平分 (D)對角線平分一組對角 2.下列命題錯誤的是( C ) (A)對角線 互相平分的四邊形是平行四邊形 (B)對角線相等的平行四邊形是矩形 (C)一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形 (D)對角線互相垂直的矩形是正方形 3.已知四邊形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D,A=∠A=∠B=∠C=∠D,B=∠A=∠B=∠C=∠D,C=∠A=∠B=∠C=∠D,D,如果添加一個條件,即可推出該四邊形是正方 形,那么這個條件可以是( D ) (A)∠A=∠B=∠C=∠D,D=90° (B)AB=CD (C)AD=BC (D)BC=CD 4.如圖,把正方形紙片 ABCD 沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為 MN,再過點 B 折疊 紙片,使點 A 落在 MN 上的點 F 處,折痕為 BE.若 AB 的長為 2,則 FM 的長為( B ) (A)2 (B) (C) (D)1 5.能使平行四邊形 ABCD 為正方形的條件是 AC=BD 且 AC⊥BD(答案不唯一) (填上一 個條件即可). 6.如圖,在四邊形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,對角線 AC 與 BD 相交于點 O,若不增加任 何 字母與輔助線,要使四邊形 ABCD 是正方形,則還需增加一個條件是 AC=BD 或(AB⊥BC) (答案不唯一) . 7.如圖,正方形 ABCD 的邊長為 2,點 E 在 AB 邊上.四邊形 EFGB 也為正方形,則△AFC 的面 積為 2 . 8.(2018 武漢)以正方形 ABCD 的邊 AD 作等邊△ADE,則∠BEC 的度數 是 30°或 150° . 9.已知:如圖,四邊形 ABCD 是正方形,分別過點 A,C 兩點作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN⊥l1 于 N,直線 MB,DN 分別交 l2 于 Q,P 點.求證:四邊形 PQMN 是正方形. 證明:因為 PN⊥l1,QM⊥l1, 所以 PN∥QM,∠A=∠B=∠C=∠D,PNM=90°. 因為 PQ∥NM, 所以四邊形 PQMN 是矩形. 因為四邊形 ABCD 是正方形, 所以∠BAD=∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=90°,AB=AD=DC. 所以∠1+∠A=∠B=∠C=∠D,2=9 0°. 又∠3+∠A=∠B=∠C=∠D,2=90°,所以∠1=∠A=∠B=∠C=∠D,3. 所以△ABM≌△DAN.所以 AM=DN. 同理 AN=DP.所以 AM+AN=DN+DP, 即 MN=PN.所以 四邊形 PQMN 是正方形. 10.已知:如圖,四邊形 ABCD 中,AD∥BC,AD=CD,E 是對角線 BD 上一點,且 EA=EC. (1)求證:四邊形 ABCD 是菱形; (2)如果 BE=BC,且∠CBE∶∠A=∠B=∠C=∠D,BCE=2∶3,求證:四邊形 ABCD 是正方形. 證明:(1)在△ADE 與△CDE 中, 所以△ADE≌△CDE(S.S.S.), 所以∠ADE=∠A=∠B=∠C=∠D,CDE, 因為 AD∥BC, 所以∠ADE=∠A=∠B=∠C=∠D,CBD, 所 以∠CDE=∠A=∠B=∠C=∠D,CBD, 所以 BC=CD, 因為 AD=CD, 所以 BC=AD, 所以四邊形 ABCD 為平行四邊形, 因為 AD=CD, 所以四邊形 ABCD 是菱形. (2)因為 BE=BC, 所以∠BCE=∠A=∠B=∠C=∠D,BEC, 因為∠CBE∶∠A=∠B=∠C=∠D,BCE=2∶3, 所以∠CBE=180°× =45°, 因為四邊形 ABCD 是菱形, 所以∠ABE=45°, 所以∠ABC=90°, 所以四邊形 ABCD 是正方形. 11.(開放探究題)已知,如圖,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點 D,AN 是△ABC 外角 ∠CAM 的平分線,CE⊥AN,垂足為點 E. (1)求證:四邊形 ADCE 為矩形; (2)當△ABC 滿足什么條件時,四邊形 ADCE 是一個正方形?并說明 理由. (1)證明:因為 AD,AN 分別是∠BAC 的內角、外角平分線, 所 以∠BAD=∠A=∠B=∠C=∠D,CAD,∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=∠A=∠B=∠C=∠D,MAE. 因為∠BAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAE+∠A=∠B=∠C=∠D,MAE=180°. 所以 2∠A=∠B=∠C=∠D,CAD+2∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=180°. 所以∠CAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=90°,即∠DAE=90°, 因為 AD⊥BC,CE⊥AN, 所以∠ADC=∠A=∠B=∠C=∠D,AEC=∠A=∠B=∠C=∠D,DAE=90°, 所以四邊形 ADCE 是矩形. (2)解:當△ABC 是以∠BAC 為直角的等腰直角三角形時,四邊形 ADCE 是正方形. 理由如下: 因為△ABC 是以∠BAC 為直角的等腰直角三角形,AD⊥BC, 所以∠CAD=∠A=∠B=∠C=∠D,BAD=45°.∠A=∠B=∠C=∠D,ACD=45°. 所以∠CAD=∠A=∠B=∠C=∠D,ACD=45°.所以 AD=CD. 因為四邊形 ADCE 是矩形,所以四邊形 ADCE 是正方形. 12.(拓展探究題)如圖,四邊形 ABCD,DEFG 都 是正方形,連結 AE,CG. (1)求證:AE=CG; (2)觀察圖形,猜想 AE 與 CG 之間的位置關系,并證明你的猜想. (1)證明:因為 AD=CD,DE=DG, ∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=∠A=∠B=∠C=∠D,GDE=90°, 又∠CDG=90°+∠A=∠B=∠C=∠D,ADG=∠A=∠B=∠C=∠D,ADE, 所以△ADE≌ △CDG. 所以 AE=CG. (2)解:猜想:AE⊥CG. 證明:如圖, 設 AE 與 CG 交點為 M,AD 與 CG 交點為 N. 由(1)得△ADE≌△CDG, 所以∠DAE=∠A=∠B=∠C=∠D,DCG. 又因為∠ANM= ∠A=∠B=∠C=∠D,CND , 所以∠CND+∠A=∠B=∠C=∠D,DCN=90°, 即∠ANM+∠A=∠B=∠C=∠D,DAE=90°, 所以∠AMN=∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=90° . 所以 AE⊥CG.
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